Álgebra
Fracciones, exponentes, logaritmos y errores comunes
Propiedades de fracciones
1
\(\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}\)
2
\(\frac{a}{b \pm c} \neq \frac{a}{b} \pm \frac{a}{c}\)
3
\(\frac{a}{b} = \left(\frac{1}{b}\right)(a) =
(a)\left(\frac{1}{b}\right)\)
4
\(\left(\frac{1}{c}\right)(ab) = \left(\frac{a}{c}\right)(b) =
(a)\left(\frac{b}{c}\right) \neq \left(\frac{a}{c}\right)\left(\frac{b}{c}\right)\)
5
\(\frac{a}{b} + \frac{d}{ce} - \frac{f}{eg} =
\frac{(a)(ceg)+(d)(bg)-(f)(bc)}{bceg}\)
6
\((-)\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \neq
\frac{-a}{-b}\)
Fracciones complejas
1
\(\left[\frac{\left(\frac{a}{b}\right)}{c}\right] =
\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{1}{c}\right) = \frac{a}{bc}\)
2
\(\left[\frac{a}{\left(\frac{b}{c}\right)}\right] =
\left(\frac{a}{1}\right)\left(\frac{c}{b}\right) = \frac{ac}{b}\)
3
\(\left[\frac{\left(\frac{a}{b}\right)}{\left(\frac{c}{d}\right)}\right] =
\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{d}{c}\right) = \frac{ad}{bc}\)
Leyes de exponentes
1
\(a^n = aaa\ldots\ (n\ \text{factores})\)
2
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
3
\((a^m)^n = (a^n)^m = a^{mn}\)
4
\((ab)^m = a^m b^m\)
5
\(\left(\frac{1}{a}\right) = a^{-1}\)
6
\(\frac{1}{a^n} = a^{-n}\)
7
\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
8
\(\frac{a^m}{b^n} = a^m b^{-n}\)
9
\(\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m\)
10
\(\frac{a}{a} = a^1 \cdot a^{-1} = a^0 = 1\)
Logaritmos
\(\log_B x = y \iff B^y = x \quad (B>0,\ B\neq1)\)
1
\(\log_B(ab) = \log_B a + \log_B b\)
2
\(\log_B\left(\frac{a}{b}\right) = \log_B a - \log_B b\)
3
\(\log_B a^n = n(\log_B a)\)
4
\(\log_B a^{1/n} = \frac{1}{n}(\log_B a)\)
5
\(\log_B(B^x) = x\)
6
\(B^{\log_B x} = x\)
7
\(\log_B x = \frac{\log_A x}{\log_A B}\)
Radicales
1
\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\)
2
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\)
3
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a\)
4
\(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\)
5
\(\left(\sqrt[n]{a^m}\right)^n = a^m\)
6
\(\sqrt{a \pm b} \neq \sqrt{a} \pm \sqrt{b}\)
Errores comunes en álgebra
1
\(a - (x - b) \neq a - x - b \Rightarrow a-(x-b) = a - x + b\)
2
\((a+b)^2 \neq a^2+b^2 \Rightarrow (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)
3
\(\left(\frac{1}{2}a\right)\left(\frac{1}{2}b\right) \neq
\frac{1}{2}(ab) \Rightarrow \left(\frac{1}{2}a\right)\left(\frac{1}{2}b\right) =
\frac{ab}{4}\)
4
\(\frac{a}{x+b} \neq \frac{a}{x}+\frac{a}{b}\)
5
\(\left[\frac{\left(\frac{x}{a}\right)}{b}\right] \neq
\frac{bx}{a} \Rightarrow \left[\frac{\left(\frac{x}{a}\right)}{b}\right] =
\frac{x}{ab}\)
6
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} \quad;\quad
\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \neq \frac{1}{a+b}\)
7
\(\frac{1}{3x} \neq \left(\frac{1}{3}\right)x \Rightarrow
\frac{1}{3x} = \left(\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{1}{x}\right)\)
8
\(\frac{1}{3x}\neq\left(\frac{1}{3}\right)x \Rightarrow
\left(\frac{1}{3}\right)x = \frac{x}{3}\)
Productos notables
1
\(a(b \pm c) = ab \pm ac\)
2
\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
3
\((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
4
\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
5
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
6
\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)
7
\((v+a)(v+b) = v^2+(a+b)v+ab\)
Fórmula general
\(ax^2+bx+c=0 \quad (a\neq 0)\)
\(\begin{cases} x_1 \\ x_2 \end{cases} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Discriminante \(D = b^2-4ac\)
\(D > 0\)
Dos soluciones
Dos soluciones
\(D = 0\)
Una solución
Una solución
\(D < 0\)
Sin solución ℝ
Sin solución ℝ
Recta
Pendiente-ordenada
\(y = mx + b\)
\(m = \tan\theta\) (pendiente)
\(b = \text{ordenada al origen}\)
\(m > 0\) sube, \(m < 0\) baja
\(b = \text{ordenada al origen}\)
\(m > 0\) sube, \(m < 0\) baja
Punto y pendiente
\(y - y_1 = m(x-x_1)\)
Dos puntos
\(y-y_1 = \left(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)(x-x_1)\)
Triángulo de Pascal
Coeficientes de \((a \pm b)^n\); cada
término real es \(\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\), con signos alternos cuando el binomio es
una resta
0
\(1\)
1
\(1,\ 1\)
2
\(1,\ 2,\ 1\)
3
\(1,\ 3,\ 3,\ 1\)
4
\(1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1\)
5
\(1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1\)
6
\(1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1\)
7
\(1,\ 7,\ 21,\ 35,\ 35,\ 21,\ 7,\ 1\)
8
\(1,\ 8,\ 28,\ 56,\ 70,\ 56,\ 28,\ 8,\ 1\)
Geometría
Parábolas y cónicas
Parábola — eje paralelo a y
\(y = ax^2+bx+c\)
h
\(h = \frac{-b}{2a}\)
k
\(k = \frac{4ac-b^2}{4a}\)
\(a > 0\)
Abre hacia arriba ↑
Abre hacia arriba ↑
\(a < 0\)
Abre hacia abajo ↓
Abre hacia abajo ↓
Parábola — eje paralelo a x
\(x = ay^2+by+c\)
k
\(k = \frac{-b}{2a}\)
h
\(h = \frac{4ac-b^2}{4a}\)
\(a > 0\)
Abre a la derecha →
Abre a la derecha →
\(a < 0\)
Abre a la izquierda ←
Abre a la izquierda ←
Trigonometría
Razones, identidades, suma/diferencia, hiperbólicas y ley de senos/cosenos
Razones trigonométricas
oc = cateto opuesto | ca = cateto adyacente
| h = hipotenusa
\(\sin\theta = \frac{oc}{h}\)
\(\csc\theta = \frac{h}{oc}\)
\(\cos\theta = \frac{ca}{h}\)
\(\sec\theta = \frac{h}{ca}\)
\(\tan\theta = \frac{oc}{ca}\)
\(\cot\theta = \frac{ca}{oc}\)
Valores notables
| \(\theta\) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin\) | 0 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \(\cos\) | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 | −1 | 0 | 1 |
| \(\tan\) | 0 | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | \(\infty\) | 0 | \(\infty\) | 0 |
Identidades fundamentales
1
\(\sin^2 v + \cos^2 v = 1\)
2
\(\sec^2 v - \tan^2 v = 1\)
3
\(\csc^2 v - \cot^2 v = 1\)
4
\(\csc v = \frac{1}{\sin v}\)
5
\(\sec v = \frac{1}{\cos v}\)
6
\(\cot v = \frac{1}{\tan v} = \frac{\cos v}{\sin v}\)
7
\(\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}\)
Ángulo doble y mitad
1
\(\sin 2v = 2\sin v\cos v\)
2
\(\cos 2v = \cos^2 v - \sin^2 v = 2\cos^2 v - 1 = 1-2\sin^2 v\)
3
\(\sin^2 v = \frac{1-\cos 2v}{2}\)
4
\(\cos^2 v = \frac{1+\cos 2v}{2}\)
5
\(\cos v = \pm\sqrt{\frac{1+\cos 2v}{2}}\)
6
\(\sin v = \pm\sqrt{\frac{1-\cos 2v}{2}}\)
7
\(\tan\frac{v}{2} = \frac{1-\cos v}{\sin v}\)
8
\(\cot\frac{v}{2} = \frac{1+\cos v}{\sin v}\)
Suma y diferencia
Identidades de suma/diferencia
\(\sin(u \pm v) = \sin u\cos v \pm \cos u\sin v\)
\(\cos(u \pm v) = \cos u\cos v \mp \sin u\sin v\)
\(\tan(u \pm v) = \frac{\tan u \pm \tan v}{1 \mp \tan
u\tan v}\)
\(\cot(u \pm v) = \frac{\cot u\cot v \mp 1}{\cot v \pm
\cot u}\)
Funciones pares e impares
\(\sin(-v) = -\sin v\)
\(\cos(-v) = \cos v\)
\(\tan(-v) = -\tan v\)
\(\cot(-v) = -\cot v\)
\(\sec(-v) = \sec v\)
\(\csc(-v) = -\csc v\)
Suma ↔ Producto
Suma → Producto
\(\sin v + \sin u =
2\sin\!\left(\frac{v+u}{2}\right)\cos\!\left(\frac{v-u}{2}\right)\)
\(\sin v - \sin u =
2\cos\!\left(\frac{v+u}{2}\right)\sin\!\left(\frac{v-u}{2}\right)\)
\(\cos v + \cos u =
2\cos\!\left(\frac{v+u}{2}\right)\cos\!\left(\frac{v-u}{2}\right)\)
\(\cos v - \cos u =
-2\sin\!\left(\frac{v+u}{2}\right)\sin\!\left(\frac{v-u}{2}\right)\)
Producto → Suma
\(\sin v\cos u = \frac{1}{2}[\sin(v+u)+\sin(v-u)]\)
\(\cos v\sin u = \frac{1}{2}[\sin(v+u)-\sin(v-u)]\)
\(\cos v\cos u = \frac{1}{2}[\cos(v+u)+\cos(v-u)]\)
\(\sin v\sin u = -\frac{1}{2}[\cos(v+u)-\cos(v-u)]\)
Funciones hiperbólicas
\(\sinh v = \frac{1}{2}(e^v - e^{-v})\)
\(\cosh v = \frac{1}{2}(e^v + e^{-v})\)
\(\tanh v = \frac{e^v - e^{-v}}{e^v + e^{-v}}\)
\(\coth v = \frac{e^v + e^{-v}}{e^v - e^{-v}}\)
\(\cosh v + \sinh v = e^v\)
\(\cosh^2 v - \sinh^2 v = 1\)
\(\sinh^2 v = \frac{1}{2}(\cosh 2v - 1)\)
\(\cosh^2 v = \frac{1}{2}(\cosh 2v + 1)\)
\(\sinh v \cosh v = \frac{1}{2}\sinh 2v\)
\(\tanh^2 v + \text{sech}^2 v = 1\)
Ley de senos y cosenos
Letras minúsculas = lados | Letras
mayúsculas = ángulos
Ley de cosenos
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)
\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\)
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)
Ley de senos
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
Combinaciones lineales de Seno y Coseno
\(A \cos v + B \sin v = [\sqrt{A^2+B^2}][\cos(v \mp \delta)]\)
donde \(\tan \delta = \frac{B}{A}\)
\(A \cos v + B \sin v = \sqrt{A^2+B^2}[\sin(v \pm \delta)]\)
donde \(\tan \delta = \pm
\frac{A}{B}\)
Funciones
Errores frecuentes en el manejo de funciones y operaciones
Más errores frecuentes comunes
1
\(\frac{1}{x}+2 = \frac{1+2x}{x} \quad;\quad \frac{1}{x}+2
\neq \frac{1}{x+2}\)
2
\((x^2)^3 = x^6 \quad;\quad (x^2)^3 \neq x^5\)
3
\(x^2\cdot x^3 = x^5 \quad;\quad x^2\cdot x^3
\neq x^6\)
4
\(2x^3 = 2(x^3) \quad;\quad
2x^3 \neq (2x)^3\)
5
\(\frac{1}{x^{1/2}-x^{1/3}} \neq
x^{-1/2} - x^{-1/3}\)
6
\(\sqrt{5x} = \sqrt{5}\sqrt{x} \quad;\quad \sqrt{5x} \neq
5\sqrt{x}\)
7
\(\sqrt{-x^2+a^2} \neq -\sqrt{x^2-a^2}\)
8
\(\frac{a+ax}{a} = 1+x \quad;\quad \sqrt{x^2+a^2} \neq x+a\)
9
\(\frac{a+ax}{a} \neq x+a\)
10
\(1+\frac{x}{2x} = \frac{3}{2} \quad;\quad 1+\frac{x}{2x}
\neq 1+\frac{1}{x}\)
Cálculo Diferencial
Definición de derivada, reglas básicas, funciones trigonométricas e
hiperbólicas
Definición y Regla de la Cadena
Definición de derivada
\(f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta
x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)
Regla de la cadena
\(\frac{dy}{dx} =
\left(\frac{dy}{dv}\right)\left(\frac{dv}{dx}\right)\)
Reglas básicas
1
\(\frac{dc}{dx} = 0\)
2
\(\frac{d}{dx}(u+v-w) =
\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}-\frac{dw}{dx}\)
3
\(\frac{dx}{dx} = 1\)
4
\(\frac{d}{dx}(cv) = c\left(\frac{dv}{dx}\right)\)
5
\(\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}\)
6
\(\frac{d}{dx}(v^n) = nv^{n-1}\frac{dv}{dx}\)
7
\(\frac{d}{dx}\left(\sqrt{v}\right) =
\frac{1}{2\sqrt{v}}\frac{dv}{dx}\)
8
\(\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) =
\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)
Exponenciales y logarítmicas
9
\(\frac{d}{dx}(\ln v) = \frac{1}{v}\frac{dv}{dx}\)
10
\(\frac{d}{dx}(\log_B v) = \frac{1}{v\ln B}\frac{dv}{dx}\)
11
\(\frac{d}{dx}(a^v) = a^v \ln a\frac{dv}{dx}\)
12
\(\frac{d}{dx}(e^v) = e^v\frac{dv}{dx}\)
13
\(\frac{d}{dx}(u^v) = vu^{v-1}\frac{du}{dx}+u^v\ln
u\frac{dv}{dx}\)
Funciones trigonométricas
14
\(\frac{d}{dx}(\sin v) = \cos v\frac{dv}{dx}\)
15
\(\frac{d}{dx}(\cos v) = -\sin v\frac{dv}{dx}\)
16
\(\frac{d}{dx}(\tan v) = \sec^2 v\frac{dv}{dx}\)
17
\(\frac{d}{dx}(\cot v) = -\csc^2 v\frac{dv}{dx}\)
18
\(\frac{d}{dx}(\sec v) = \sec v\tan v\frac{dv}{dx}\)
19
\(\frac{d}{dx}(\csc v) = -\csc v\cot v\frac{dv}{dx}\)
Trigonométricas inversas
20
\(\frac{d}{dx}(\arcsin v) = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\frac{dv}{dx}\)
21
\(\frac{d}{dx}(\arccos v) =
\frac{-1}{\sqrt{1-v^2}}\frac{dv}{dx}\)
22
\(\frac{d}{dx}(\arctan v) = \frac{1}{1+v^2}\frac{dv}{dx}\)
23
\(\frac{d}{dx}(\text{arccot}\; v) =
\frac{-1}{1+v^2}\frac{dv}{dx}\)
24
\(\frac{d}{dx}(\text{arcsec}\; v) =
\frac{1}{v\sqrt{v^2-1}}\frac{dv}{dx}\)
25
\(\frac{d}{dx}(\text{arccsc}\; v) =
\frac{-1}{v\sqrt{v^2-1}}\frac{dv}{dx}\)
Funciones hiperbólicas
26
\(\frac{d}{dx}(\sinh v) = \cosh v\frac{dv}{dx}\)
27
\(\frac{d}{dx}(\cosh v) = \sinh v\frac{dv}{dx}\)
28
\(\frac{d}{dx}(\tanh v) = \text{sech}^2 v\frac{dv}{dx}\)
29
\(\frac{d}{dx}(\coth v) = -\text{csch}^2 v\frac{dv}{dx}\)
30
\(\frac{d}{dx}(\text{sech}\; v) = -\text{sech}\; v\tanh
v\frac{dv}{dx}\)
31
\(\frac{d}{dx}(\text{csch}\; v) = -\text{csch}\; v\coth
v\frac{dv}{dx}\)
Sumas
Propiedades de sumatoria y sumas de Riemann
Propiedades de sumatoria
1
\(\displaystyle\sum_{i=1}^n (a_i \pm b_i) = \sum_{i=1}^n a_i \pm
\sum_{i=1}^n b_i\)
2
\(\displaystyle\sum_{i=1}^n 1 = n\)
3
\(\displaystyle\sum_{i=1}^n c = cn\)
4
\(\displaystyle\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\)
5
\(\displaystyle\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
6
\(\displaystyle\sum_{i=1}^n i^3 =
\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\)
7
\(\displaystyle\sum_{i=1}^n i^4 =
\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}\)
Suma de Riemann
Suma superior (extremos derechos)
\(S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i\)
\(\Delta x = \frac{b-a}{n} \quad;\quad x_i =
a+i\left(\frac{b-a}{n}\right)\)
Suma inferior (extremos izquierdos)
\(x_i = a+(i-1)\left(\frac{b-a}{n}\right)\)
Integral definida como límite
\(\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i\)
Series
Convergencia, divergencia, series especiales de Taylor y Maclaurin
Pruebas de convergencia
Prueba de la razón (d'Alembert)
\(L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(L < 1\) — Converge
\(L > 1\) — Diverge
\(L = 1\) — Indeterminado
Prueba de la raíz (Cauchy)
\(L = \lim_{n\to\infty}(a_n)^{1/n}\)
Serie alternante (Criterio de Leibniz)
\(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n\)
Converge si \(0 < a_{n+1} \le a_n\) y
\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)
Series especiales
Serie geométrica
\(\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}\)
\(0 < |r| < 1\) (Converge)
\(|r| \ge 1\) (Diverge)
Serie p
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\)
Converge si \(p > 1\); diverge
si \(0 < p \le 1\)
Serie telescópica
\(\sum_{n=1}^\infty (b_n - b_{n+1})\)
Converge si
\(\lim_{n\to\infty} b_n = L\)
Series de Taylor y
Maclaurin
Serie de Taylor
\(\sum_{n=0}^\infty
\left[\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\right](x-a)^n\)
Serie de Maclaurin
\(\sum_{n=0}^\infty
\left[\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\right]x^n\)
Series de Maclaurin conocidas
\(\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n
x^n\)
\(e^x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\)
\(\sin x = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n
x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)
\(\cos x = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n
x^{2n}}{(2n)!}\)
Series de Taylor
conocidas (centradas en \(a=1\))
\(\frac{1}{x} =
\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n\)
\(\ln x =
\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}{n}\)
Cálculo Integral
Reglas básicas, sustituciones, integración por partes y
aplicaciones
Reglas básicas de
integración
1
\(\int(du \pm dv \mp dw) = \int du \pm \int
dv \mp \int dw\)
2
\(\int a\,dv = av + c\)
3
\(\int dx = x + c\)
4
\(\int v^n\,dv = \frac{v^{n+1}}{n+1}+c\)
5
\(\int \frac{dv}{v} = \ln|v|+c\)
6
\(\int e^v\,dv = e^v+c\)
7
\(\int a^v\,dv = \frac{a^v}{\ln a}+c\)
8
\(\int \sin v\,dv = -\cos v+c\)
9
\(\int \cos v\,dv = \sin v+c\)
10
\(\int \tan v\,dv = -\ln|\cos v|+c = \ln|\sec
v|+c\)
11
\(\int \cot v\,dv = \ln|\sin v|+c\)
12
\(\int \sec v\,dv = \ln|\sec v+\tan v|+c\)
13
\(\int \csc v\,dv = \ln|\csc v-\cot v|+c\)
14
\(\int \sec v\tan v\,dv = \sec v+c\)
15
\(\int \csc v\cot v\,dv = -\csc v+c\)
16
\(\int \sec^2 v\,dv = \tan v+c\)
17
\(\int \csc^2 v\,dv = -\cot v+c\)
18
\(\int \frac{dv}{v^2+a^2} =
\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{v}{a}\right)+c\)
19
\(\int \frac{dv}{a^2-v^2} =
\frac{1}{2a}\ln\!\left|\frac{v+a}{v-a}\right|+c\)
20
\(\int \frac{dv}{v^2-a^2} =
\frac{1}{2a}\ln\!\left|\frac{v-a}{v+a}\right|+c\)
21
\(\int \sqrt{a^2-v^2}\,dv =
\frac{v}{2}\sqrt{a^2-v^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\!\left(\frac{v}{a}\right)+c\)
22
\(\int \sqrt{v^2\pm a^2}\,dv =
\frac{v}{2}\sqrt{v^2\pm
a^2}\pm\frac{a^2}{2}\ln\!\left|v+\sqrt{v^2\pm a^2}\right|+c\)
23
\(\int \frac{dv}{\sqrt{v^2\pm a^2}} =
\ln\!\left|v+\sqrt{v^2\pm a^2}\right|+c\)
24
\(\int \frac{dv}{\sqrt{a^2-v^2}} =
\arcsin\!\left(\frac{v}{a}\right)+c\)
25
\(\int \sinh u\,du = \cosh u+c\)
26
\(\int \cosh u\,du = \sinh u+c\)
27
\(\int \text{sech}^2 u\,du = \tanh u+c\)
28
\(\int \tanh u\,du = \ln(\cosh u)+c\)
Sustituciones
trigonométricas
Tipo A — sin/cos impares
\(t = \tan x \Rightarrow dt = \sec^2 x\,dx\)
Tipo B — R(cos)sin o R(sin)cos
\(t = \sin x \text{ o } t = \cos x\)
Tipo C — R(sin, cos) general
\(t = \tan\!\left(\frac{x}{2}\right)\)
Tipo D — potencias pares
\(\cos^2 x = \frac{1}{1+\tan^2 x}\)
\(\sin^2 x = \frac{\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\)
\(dx = \frac{dt}{1+t^2}\)
\(\sin^2 x = \frac{\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\)
\(dx = \frac{dt}{1+t^2}\)
Tipo E — R(sin)cos
\(t = \sin x\)
Tipo F — R(cos)sin
\(t = \cos x\)
Tipo G — R(tan)
\(t = \tan x \Rightarrow dx = \frac{dt}{1+t^2}\)
Tipo H — R(cot)
\(t = \cot x \Rightarrow \int
R(t)\,\frac{dt}{1+t^2}\)
Integrales de
\(\sin^m\cos^n\)
Con \(m \neq n\)
1
\(\int\sin(mv)\cos(nv)\,dv =
-\left[\frac{\cos(m+n)v}{2(m+n)}\right]-\left[\frac{\cos(m-n)v}{2(m-n)}\right]\)
2
\(\int\sin(mv)\sin(nv)\,dv =
-\left[\frac{\sin(m+n)v}{2(m+n)}\right]-\left[\frac{\sin(m-n)v}{2(m-n)}\right]\)
3
\(\int\cos(mv)\cos(nv)\,dv =
\left[\frac{\sin(m+n)v}{2(m+n)}\right]+\left[\frac{\sin(m-n)v}{2(m-n)}\right]\)
TFC e Integración por
partes
Teorema fundamental del cálculo
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b)-F(a)\)
Donde F(x) es antiderivada
de f(x)
Integración por partes
\(\int u\,dv = uv - \int v\,du\)
Regla ILATE para elegir
u:
Inversa trig, Logarítmica, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial
Inversa trig, Logarítmica, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial
Fracciones Parciales
Factores lineales distintos
\(\frac{f(x)}{g(x)} =
\frac{A}{x}+\frac{B}{x-a}+\frac{C}{x+b}\)
Factores lineales repetidos
\(=
\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+\ldots+\frac{A_n}{(ax+b)^n}\)
Factores cuadráticos distintos
\(= \frac{A_1 x+B_1}{a_1 x^2+b_1 x+c_1}+\frac{A_2
x+B_2}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\)
Factores cuadráticos repetidos
\(= \frac{A_1 x+B_1}{ax^2+bx+c}+\frac{A_2
x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+\ldots\)
Aplicaciones de la
integral
Área entre curvas
\(A = \int_a^b [g(x)-f(x)]\,dx\)
Longitud de arco
\(L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx\)
Masa de región
\(m = \rho\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx\)
Volumen (disco)
\(V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx\)
Trabajo
\(W = \int_a^b F(x)\,dx\)
Ley de Hooke
\(F = -kx\)
Integrales Impropias
Tipo I (Límites infinitos)
\(\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{b \to \infty}
\int_a^b f(x)dx\)
Tipo II (Discontinuidades)
\(\int_a^b f(x)dx = \lim_{c \to b^-} \int_a^c
f(x)dx\)
Nota: Las
integrales impropias convergen si el límite existe, y divergen si no
existe.
Aplicaciones Adicionales
de la Integral
Centroides
Masa \(m = \rho \int_a^b [f(x)-g(x)]dx\)
Momentos \(M_x = \rho \int_a^b
[\frac{f(x)+g(x)}{2}][f(x)-g(x)]dx\)
Momentos \(M_y = \rho \int_a^b
x[f(x)-g(x)]dx\)
Coordenadas \(\bar{x} = \frac{M_y}{m}\) y
\(\bar{y} = \frac{M_x}{m}\)
Volumen y Fuerzas
Volumen discos (eje y): \(V = \pi
\int_a^b [f(y)]^2 dy\)
Ley de gravitación de Newton: \(F =
k(\frac{m_1 m_2}{d^2})\), donde \(k = 6.674\times10^{-11}\
\frac{N\cdot m^2}{kg^2}\)
Ley de Coulomb: \(F = k(\frac{q_1
q_2}{r^2})\), donde \(k \approx 9\times10^{9}\
\frac{N\cdot m^2}{C^2}\)
Sustitución
Trigonométrica (Triángulos Rectángulos)
Para \(\sqrt{a^2-u^2}\)
Sustitución \(u = a \sin \theta\)
Resulta en \(\sqrt{a^2-u^2} = a \cos \theta\)
Para \(\sqrt{a^2+u^2}\)
Sustitución \(u = a \tan \theta\)
Resulta en \(\sqrt{a^2+u^2} = a \sec \theta\)
Para \(\sqrt{u^2-a^2}\)
Sustitución \(u = a \sec \theta\)
Resulta en \(\sqrt{u^2-a^2} = a \tan \theta\)
Potencias
Trigonométricas
\(\int \tan^n x\,dx\): Usar \(\tan^n x =
\tan^{n-2}x (\sec^2 x - 1)\)
\(\int \cot^n x\,dx\): Usar \(\cot^n x =
\cot^{n-2}x (\csc^2 x - 1)\)
\(\int \sec^n x\,dx\): Usar \(\sec^{n-2}x
(\tan^2 x + 1)^{\frac{n-2}{2}} \sec^2 x\)
\(\int \csc^n x\,dx\): Usar \(\csc^{n-2}x
(\cot^2 x + 1)^{\frac{n-2}{2}} \csc^2 x\)